Resumen: Se presentan dos sopas A y B con n mL cada una. En cada turno se selecciona al azar una de cuatro operaciones con probabilidad 0.25: servir 100 mL de A y 0 mL de B; servir 75 mL de A y 25 mL de B; servir 50 mL de A y 50 mL de B; servir 25 mL de A y 75 mL de B. El proceso termina cuando A o B se vacían. Si una operación pide más cantidad de la disponible, solo se sirve lo que queda. El objetivo es calcular la probabilidad de que A se vacíe antes que B más la mitad de la probabilidad de que ambas se vacíen en el mismo paso.
Intuicion: Cada turno reduce ambas cantidades y el resultado depende de cuál recipiente se agote primero o si ambos se agotan simultáneamente. Las cuatro operaciones generan una estructura probabilística en forma de árbol y el problema consiste en calcular el valor esperado recorriendo ese árbol. Es natural emplear memorización para almacenar resultados de subproblemas que se repiten. Para n grande, específicamente por encima de 4500 mL, el resultado converge muy cerca de 1.0, por lo que se puede devolver 1 como atajo.
Simplificacion: Para reducir el espacio de estados se trabaja con unidades de 25 mL. Es decir, se convierte n en m igual al techo de n dividido entre 25. De esta manera cada operación se representa por decrecimientos enteros en esas unidades y se limita el número de estados a calcular.
Enfoque: Se define una función p(a, b) que devuelve la probabilidad deseada partiendo de a unidades de A y b unidades de B. Casos base: si a es menor o igual que cero y b es menor o igual que cero retornar 0.5; si a es menor o igual que cero retornar 1; si b es menor o igual que cero retornar 0. Para un estado general p(a, b) es igual a 0.25 por la suma de las cuatro llamadas recursivas con los decrementos correspondientes. Se usa memorización con un arreglo bidimensional o un diccionario para cachear resultados y evitar recálculos.
Pseudocodigo: funcion p de a coma b: si a es menor o igual que cero y b es menor o igual que cero retornar 0.5. Si a es menor o igual que cero retornar 1. Si b es menor o igual que cero retornar 0. Si existe resultado en memo retornar resultado. Calcular resultado igual a 0.25 multiplicado por la suma de p con a menos 4 coma b; p con a menos 3 coma b menos 1; p con a menos 2 coma b menos 2; p con a menos 1 coma b menos 3. Guardar resultado en memo y retornar resultado. Funcion principal sopaServings con n: si n mayor que 4500 retornar 1. Calcular m igual al techo de n dividido entre 25. Retornar p de m coma m.
Versiones y notas de implementacion: En C++ se puede usar un arreglo double size 300 por 300 y la función recursiva p con los casos base y memorización. En JavaScript es práctico emplear un Map para memoizar claves concatenadas y una función recursiva dp. En Python conviene usar lru cache de functools para simplificar la memorización. En las tres implementaciones la conversión a unidades de 25 mL y el atajo para n mayor que 4500 mejoran rendimiento.
Complejidad temporal y espacial: El número de estados únicos es del orden de m al cuadrado, donde m es el techo de n entre 25. En el peor caso para n igual a 4500 eso corresponde aproximadamente a 300 por 300 lo que da alrededor de 90000 estados. La complejidad espacial es del mismo orden por el uso de la tabla de memorización bidimensional.
Reflexion final: Este ejercicio mezcla probabilidad y programación dinámica recursiva. Los elementos clave son agrupar cantidades en unidades de 25 mL para limitar el espacio de estados, usar memorización para evitar recomputación y aprovechar la convergencia para n grande. Es un problema recomendable para practicar memorización, razonamiento probabilístico y optimización del espacio de estados.
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