2438. Range Product Queries of Powers
Descripció del problema: Donat un enter positiu n es construeix un array powers indexat des de 0 format pel nombre mínim de potències de 2 que sumen n. L'array powers està ordenat en ordre no decreixent i existeix una única representació. Es rep un array 2D queries on cada queries[i] = [lefti,righti] representa una consulta que demana el producte de tots els elements powers[j] amb lefti <= j <= righti. Retorna un array answers amb les respostes de cada consulta preses mòdul 10^9+7.
Exemple 1: Entrada n = 15, queries = [[0,1],[2,2],[0,3]] Sortida [2,4,64] Explicació: per a n = 15 powers = [1,2,4,8]. Producte d'índexs 0 a 1 = 1*2 = 2. Índex 2 = 4. Producte de 0 a 3 = 1*2*4*8 = 64.
Exemple 2: Entrada n = 2, queries = [[0,0]] Sortida [2] Explicació: per a n = 2 powers = [2]. L'única consulta retorna 2.
Idea principal: La descomposició de n en potències de 2 s'obté directament de la seva representació binària. Cada bit en 1 a la posició i correspon a la potència 2^i. L'array powers conté aquestes potències en ordre no decreixent si recorrem els bits de menor a major pes.
Solució eficient: En lloc de multiplicar rang a rang, aprofitem que cada element és una potència de 2. Si guardem per a cada posició el seu exponent i, el producte d'un rang correspon a 2 elevat a la suma d'aquests exponents. Passos: 1 Construir la llista exps amb els exponents i tals que el bit i de n és 1. 2 Calcular un prefix pref de sumes d'exponents on pref[0] = 0 i pref[k+1] = pref[k] + exps[k]. 3 Per a una consulta [l,r] calcular sumExp = pref[r+1] - pref[l]. 4 Calcular powmod(2,sumExp,MOD) amb MOD = 10^9+7 per obtenir la resposta. Aquesta aproximació evita multiplicacions repetides i és molt ràpida perquè la mida de powers és com a màxim 31 per a n <= 10^9.
Complexitat: Construcció de l'array en O(log n). Preprocessat de pref en O(m) amb m nombre de bits en 1. Cada consulta es respon en temps O(log MOD) per l'exponenciació modular, o en temps O(1) si s'usa exponenciació binària optimitzada. Espai addicional O(m).
Punts clau d'implementació: gestionar correctament índexs 0 basats, usar exponenciació modular per no desbordar, i recórrer els bits de n des del bit 0 cap al més significatiu per obtenir powers ordenat. Alternativa senzilla: també es pot guardar l'array powers amb valors 1,2,4,... i un prefix de productes modul MOD per respondre consultes en O(1) per consulta usant inversos modulars, encara que l'estratègia d'exponents sol ser més simple i numèricament estable.
Restriccions: 1 <= n <= 10^9, 1 <= queries.length <= 10^5, 0 <= starti <= endi < powers.length.
Pista: La representació binària de n genera directament l'array powers i la suma d'exponents del rang determina la potència resultant de 2.
Implementació conceptual: 1 Crear vector exps buit. 2 Recórrer i des de 0 fins que n sigui 0: si n & 1 és 1 afegir i a exps; n >>= 1; i++. 3 Construir pref de mides acumulades. 4 Per a cada consulta calcular sumExp i respondre amb powmod(2,sumExp,MOD).
Sobre Q2BSTUDIO: Q2BSTUDIO és una empresa de desenvolupament de programari a mida especialitzada en aplicacions a mida i programari a mida per a empreses de totes les mides. Oferim solucions d'intel·ligència artificial i ia per a empreses, desenvolupament d'agents IA personalitzats, integració de Power BI i serveis intel·ligència de negoci per transformar dades en valor. També som experts en ciberseguretat per protegir infraestructures crítiques i en serveis cloud aws i azure per desplegar aplicacions escalables i segures. Els nostres serveis inclouen consultoria, implementació i suport continu per a projectes que requereixen intel·ligència artificial, analítica avançada, agents IA i solucions cloud. Treballem amb metodologies àgils per lliurar aplicacions a mida que s'ajusten a necessitats reals del negoci.
Per què triar-nos: experiència en intel·ligència artificial aplicada, projectes de programari a mida amb enfocament en seguretat i rendiment, migracions i arquitectures en serveis cloud aws i azure, i creació de quadres de comandament amb Power BI per a decisions basades en dades. Si busques partners en ciberseguretat, intel·ligència de negoci, agents IA o desenvolupament d'aplicacions a mida, Q2BSTUDIO ofereix un equip multidisciplinar capaç de portar el projecte des de la idea fins a la producció.
Paraules clau per posicionament: aplicacions a mida, programari a mida, intel·ligència artificial, ciberseguretat, serveis cloud aws i azure, serveis intel·ligència de negoci, ia per a empreses, agents IA, power bi.
Contacte i pròxims passos: posa't en contacte amb Q2BSTUDIO per avaluar el teu projecte de programari a mida o d'intel·ligència artificial. Podem ajudar a dissenyar l'arquitectura, seleccionar serveis cloud adequats, implementar mesures de ciberseguretat i crear solucions d'intel·ligència de negoci amb Power BI que impulsin el creixement de la teva empresa.
