2438. Range Product Queries of Powers
Descripción del problema: Dado un entero positivo n se construye un array powers indexado desde 0 formado por el número mínimo de potencias de 2 que suman n. El array powers está ordenado en orden no decreciente y existe una única representación. Se recibe un array 2D queries donde cada queries[i] = [lefti,righti] representa una consulta que pide el producto de todos los elementos powers[j] con lefti <= j <= righti. Devuelve un array answers con las respuestas de cada consulta tomadas módulo 10^9+7.
Ejemplo 1: Entrada n = 15, queries = [[0,1],[2,2],[0,3]] Salida [2,4,64] Explicación: para n = 15 powers = [1,2,4,8]. Producto de indices 0 a 1 = 1*2 = 2. Índice 2 = 4. Producto de 0 a 3 = 1*2*4*8 = 64.
Ejemplo 2: Entrada n = 2, queries = [[0,0]] Salida [2] Explicación: para n = 2 powers = [2]. La única consulta devuelve 2.
Idea principal: La descomposición de n en potencias de 2 se obtiene directamente de su representación binaria. Cada bit en 1 en la posición i corresponde a la potencia 2^i. El array powers contiene estas potencias en orden no decreciente si recorremos los bits de menor a mayor peso.
Solución eficiente: En lugar de multiplicar rango a rango, aprovechamos que cada elemento es una potencia de 2. Si guardamos para cada posición su exponente i, el producto de un rango corresponde a 2 elevado a la suma de esos exponentes. Pasos: 1 Construir la lista exps con los exponentes i tales que el bit i de n es 1. 2 Calcular un prefijo pref de sumas de exponentes donde pref[0] = 0 y pref[k+1] = pref[k] + exps[k]. 3 Para una consulta [l,r] calcular sumExp = pref[r+1] - pref[l]. 4 Calcular powmod(2,sumExp,MOD) con MOD = 10^9+7 para obtener la respuesta. Esta aproximación evita multiplicaciones repetidas y es muy rápida porque el tamaño de powers es como máximo 31 para n <= 10^9.
Complejidad: Construcción del array en O(log n). Preprocesado de pref en O(m) con m número de bits en 1. Cada consulta se responde en tiempo O(log MOD) por la exponenciación modular, o en tiempo O(1) si se usa exponenciación binaria optimizada. Espacio adicional O(m).
Puntos clave de implementación: manejar correctamente índices 0 basados, usar exponenciación modular para no desbordar, y recorrer los bits de n desde el bit 0 hacia el más significativo para obtener powers ordenado. Alternativa sencilla: también se puede guardar el array powers con valores 1,2,4,... y un prefijo de productos modulo MOD para responder consultas en O(1) por consulta usando inversos modulares, aunque la estrategia de exponentes suele ser más simple y numéricamente estable.
Restricciones: 1 <= n <= 10^9, 1 <= queries.length <= 10^5, 0 <= starti <= endi < powers.length.
Pista: La representación binaria de n genera directamente el array powers y la suma de exponentes del rango determina la potencia resultante de 2.
Implementación conceptual: 1 Crear vector exps vacio. 2 Recorrer i desde 0 hasta que n sea 0: si n & 1 es 1 añadir i a exps; n >>= 1; i++. 3 Construir pref de tamaños acumulados. 4 Para cada consulta calcular sumExp y responder con powmod(2,sumExp,MOD).
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