Árbol Generador Mínimo

Blog 6 Minimum Spanning Tree MST

Que es un MST

Un arbol recubridor o Spanning Tree de un grafo conecta todos los vertices usando el numero minimo de aristas N menos 1 para N nodos y sin ciclos. Un Minimum Spanning Tree MST es el arbol recubridor cuya suma de pesos de aristas es minima.

Para que exista un MST el grafo debe ser conexo no dirigido y ponderado.

Por que es importante el MST

Diseno de redes carreteras fibra o redes de datos con costo minimo. Clustering en aprendizaje automatico para particionar datos. Algoritmos de aproximacion como TSP y Steiner Tree.

Algoritmos clasicos para MST

Los mas usados son Kruskal y Prim ambos codiciosos greedy.

1 Kruskal enfoque Union Find DSU

Pasos ordenar todas las aristas por peso seleccionar la arista mas ligera que no forme ciclo verificar ciclos con Union Find DSU repetir hasta tener N menos 1 aristas.

Complejidad ordenar aristas O E log E y operaciones de Union Find aproximadamente O E a N donde a N es la funcion inversa de Ackermann casi constante. Es ideal para grafos dispersos donde E es cercano a V.

2 Prim con cola de prioridad

Pasos iniciar desde cualquier nodo usar un monticulo minimo para elegir siempre la arista mas ligera que conecta el MST con un nuevo nodo expandir hasta cubrir todos los nodos.

Complejidad con cola de prioridad O E log V. Es ideal para grafos densos donde E es cercano a V al cuadrado.

Ejemplo clasico ambos algoritmos sobre un grafo de 4 nodos dan el mismo resultado MST Cost igual a 19.

Kruskal vs Prim cuando usar cada uno

Kruskal brilla en grafos dispersos al trabajar directamente con la lista de aristas y ordenar. Prim suele ser mas eficiente en grafos densos usando lista de adyacencia y monticulo minimo. En ambos casos el costo del MST obtenido es el mismo.

Problemas tipicos de practica

Connecting Cities with Minimum Cost en plataformas tipo LeetCode Min Cost to Connect All Points y Kruskal MST en HackerRank son ejercicios excelentes para dominar estos enfoques.

Ideas clave para entrevistas

MST se resuelve con estrategias codiciosas eligiendo siempre la mejor opcion local. Kruskal usa aristas ordenadas y DSU. Prim usa una cola de prioridad sobre vertices. Ambos producen el mismo costo total.

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