Matemática de la Detección AABB vs OBB

La detección de colisiones es un pilar esencial en gráficos por computadora, simulaciones físicas y desarrollo de videojuegos. Una estrategia muy utilizada para gestionar colisiones entre formas complejas es envolverlas con volúmenes de acotación, y entre ellos, la bounding box destaca por su equilibrio entre simplicidad y eficiencia. En este artículo repasamos las cajas alineadas a ejes AABB, las cajas orientadas OBB y cómo el Teorema del Eje Separador SAT permite detectar colisiones con precisión en 2D y 3D.

AABB Caja delimitadora alineada a ejes

Una Axis Aligned Bounding Box AABB es el volumen de colisión más sencillo: sus caras están alineadas con los ejes del sistema de coordenadas. Esto hace que sea trivial de calcular, aunque menos flexible cuando los objetos rotan. Dos AABB se intersectan si y solo si sus intervalos se solapan en cada eje. En el eje X, por ejemplo, se comprueba que a.minX <= b.maxX y a.maxX >= b.minX. De forma análoga se comprueban los ejes Y y Z. Si existe un eje donde no hay solape, las cajas están separadas y no colisionan.

Fórmula práctica 3D: f A,B = solapeX && solapeY && solapeZ, donde solapeX es a.minX <= b.maxX && a.maxX >= b.minX y equivalente para Y y Z. Esta verificación se usa masivamente en tiempo real por su gran rendimiento.

OBB Caja delimitadora orientada

Una Oriented Bounding Box OBB puede rotar con el objeto: se define por un centro, tres ejes locales ortonormales y sus medias extensiones half extents. Al rotar, ajusta mejor la geometría que una AABB, pero la detección de colisión requiere un criterio más general: el Teorema del Eje Separador SAT.

Teorema del Eje Separador SAT

El SAT afirma que dos formas convexas no colisionan si y solo si existe un eje sobre el cual sus proyecciones no se solapan. En otras palabras, si encontramos un único eje separador, las formas están libres de colisión; si no existe ninguno, necesariamente se intersectan.

Aplicación del SAT en 2D Rectángulo vs Rectángulo

Para OBB en 2D rectángulos, los ejes candidatos son los bordes de ambos rectángulos. Como cada rectángulo aporta dos direcciones únicas, bastan cuatro ejes para el test. Pasos recomendados: 1 tomar las dos direcciones de A y las dos de B, 2 usarlas como ejes candidatos, 3 proyectar ambos rectángulos sobre cada eje dot product, 4 si alguna pareja de proyecciones no se solapa en un eje, no hay colisión, 5 si hay solape en los cuatro ejes, sí colisionan.

Aplicación del SAT en 3D OBB vs OBB

En 3D, los ejes candidatos son 3 ejes locales de A, 3 de B y los 9 productos cruzados entre cada eje de A y cada eje de B, sumando 15 ejes. Si las proyecciones se solapan en los 15, hay colisión; si al menos uno genera un hueco, no la hay.

Desigualdad de proyección ejemplo 2D

Al evaluar un eje u por ejemplo el eje A_x de A se compara la distancia proyectada entre centros y el radio de proyección combinado: abs dot T, A_x > W_A + abs W_B * dot B_x, A_x + abs H_B * dot B_y, A_x . Aquí T es el vector centroA a centroB, A_x y A_y son ejes de A, B_x y B_y ejes de B, y W_A, H_A, W_B, H_B son semiancho y semialto de cada rectángulo. Si la distancia proyectada entre centros supera la suma de radios proyectados, no hay solape en ese eje y por SAT no hay colisión.

Eficiencia computacional FLOPs

Cada eje requiere unas pocas operaciones: productos punto para proyecciones, valores absolutos y sumas. Un test por eje suele costar 10 a 12 FLOPs. En 2D rondamos 40 a 50 FLOPs por par de rectángulos; en 3D, unos 200 FLOPs para 15 ejes. Es suficientemente eficiente para aplicaciones en tiempo real como motores de juego, gemelos digitales o simulaciones con ia para empresas.

Resumen operativo

- AABB: simple y muy rápido, basta comprobar solape de intervalos por eje. - OBB: más ajustado a la geometría y robusto con rotaciones, necesita SAT. - SAT: si existe un eje separador, no hay colisión; si no existe, sí la hay. - 2D OBB: 4 ejes candidatos. - 3D OBB: 15 ejes candidatos. - Rendimiento: pocos cientos de FLOPs, viable para tiempo real.

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Conclusión

La combinación AABB para filtros rápidos y OBB con SAT para precisión ofrece una ruta equilibrada entre coste y exactitud. Adoptar estas técnicas desde la arquitectura de tu motor o plataforma minimiza costes futuros y mejora la calidad de la experiencia. Si quieres incorporar detección de colisiones de nivel profesional en tus productos, en Q2BSTUDIO estamos listos para acompañarte de punta a punta.