Difusión latente con guía de verosimilitud sustituta para PDE inversos

Los problemas inversos gobernados por ecuaciones diferenciales parciales (EDP) representan un desafío central en campos como la geofísica, la ingeniería de yacimientos y la biomecánica. La inferencia de campos de parámetros espacialmente distribuidos —como la permeabilidad en un medio poroso— a partir de observaciones ruidosas y dispersas requiere métodos capaces de manejar espacios de alta dimensionalidad, distribuciones implícitas y costos computacionales elevados. En este contexto, la combinación de modelos de difusión latente con guía de verosimilitud sustituta emerge como una aproximación bayesiana eficiente que supera limitaciones de los enfoques tradicionales.

La idea central consiste en reducir la dimensionalidad del problema mediante un autoencoder variacional (VAE) que proyecta el campo de parámetros a un espacio latente de menor dimensión. Sobre ese espacio, un modelo de difusión incondicional aprende una puntuación (score) que representa la distribución previa implícita de los parámetros. Luego, durante el muestreo posterior, se incorpora la verosimilitud de las observaciones mediante el gradiente calculado a través de la composición del decodificador del VAE y un sustituto neuronal diferenciable de la EDP directa. De esta forma se evitan las costosas llamadas repetidas al solucionador numérico completo, reduciendo drásticamente el tiempo de inferencia.

La metodología, conocida como muestreo posterior por difusión en espacio latente (L-DPS), ha sido evaluada en problemas inversos tipo Darcy, donde la permeabilidad es desconocida y se infiere a partir de mediciones de presión. Los resultados muestran que L-DPS produce soluciones precisas y robustas incluso en regímenes de observaciones escasas y ruidosas, superando a líneas base como la difusión latente condicional o las redes tipo FNO. Además, el enfoque permite generalización con priors mixtos y es sensible al error del modelo sustituto, lo que abre caminos para el diseño de sistemas adaptativos.

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