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Este artículo presenta un marco novedoso para sintetizar políticas de control robustas para sistemas no lineales con incertidumbre paramétrica, aprovechando homología persistente para identificar modos críticos del sistema y guiar la poda de redes. Los métodos tradicionales de control suelen tener dificultades con espacios de estados de alta dimensionalidad y dinámicas complejas, mientras que los enfoques de aprendizaje por refuerzo pueden requerir muchos datos y carecer de garantías formales de robustez. Nuestra propuesta combina lo mejor de ambos mundos, utilizando homología persistente para destilar el comportamiento esencial del sistema en una estructura de red simplificada y estable, adecuada para el aprendizaje eficiente de políticas de control. El resultado es un proceso de diseño de control más ágil, una carga computacional reducida y una robustez demostrablemente mejor frente a perturbaciones en los parámetros.
Introducción: el diseño de control robusto para sistemas no lineales con incertidumbre sigue siendo un reto. Técnicas clásicas basadas en Lyapunov tienden a ser conservadoras y el aprendizaje por refuerzo puede ser costoso en datos. Proponemos un procedimiento que emplea homología persistente, una técnica de análisis topológico de datos, para extraer información estructural significativa de las dinámicas del sistema. PH permite identificar características persistentes en el espacio de estados que representan modos de comportamiento detectables de forma robusta. Esa información se utiliza para priorizar la preservación de conexiones relevantes en una red que representa la política de control y para podar conexiones irrelevantes, preservando así las dinámicas cruciales y obteniendo políticas eficientes y robustas.
Fundamentos teóricos: la homología persistente cuantifica características topológicas de un conjunto de datos en función de la escala. Aplicada a series temporales generadas por un sistema dinámico, PH revela bucles persistentes, huecos y características de mayor dimensión que caracterizan el comportamiento del sistema a través de escalas temporales. La persistencia de una característica indica su robustez frente a ruido y variaciones paramétricas. En nuestra implementación usamos diagramas de persistencia construidos a partir del complejo de Vietoris-Rips para representar esas características topológicas.
Representación en red de políticas de control: la política de control se modela como un grafo dirigido G igual a V, E donde cada nodo V corresponde a un estado o a una representación simplificada del estado y las aristas E representan acciones de control que transitan entre estados. Los pesos de las aristas codifican la magnitud o relevancia de la acción. Esta estructura de red ofrece una forma compacta y eficiente de representar comportamientos de control complejos y facilita la aplicación de estrategias de poda guiadas por criterios topológicos.
Poda de la red guiada por homología persistente: la innovación central consiste en usar PH para orientar la poda de la red de control. Se generan trayectorias del sistema para diversas configuraciones de los parámetros de incertidumbre y se calcula la homología persistente sobre ese conjunto de trayectorias. El diagrama de persistencia señala regiones del espacio de estados con características topológicas persistentes; esas regiones corresponden a modos de comportamiento robustos. Durante la poda se prioriza la conservación de aristas que conectan nodos dentro de estas regiones persistentes y se eliminan aristas cuya puntuación de persistencia es baja, simplificando la red sin sacrificar las dinámicas críticas.
Metodología: el protocolo propuesto consta de cuatro fases clave. Primero, identificación del sistema y generación de trayectorias: el sistema dinámico se describe formalmente por x punto igual a f de x y p donde x pertenece a Rn y p representa el vector de incertidumbre. Se generan múltiples trayectorias x de t para distintas configuraciones de p, seleccionando N y T adecuados en el diseño experimental. Segundo, cálculo de homología persistente: se computa PH sobre los datos de trayectoria usando construcciones de tipo Vietoris-Rips implementadas en bibliotecas como Gudhi y se obtienen diagramas de persistencia que guiarán la poda. Tercero, fase de poda de la red: la red inicial G0 se inicializa densa y se aplica una estrategia codiciosa de poda. Para cada arista se calcula una puntuación basada en la cercanía de los nodos a las características topológicas persistentes; las aristas con puntuación baja se eliminan según un umbral predefinido. Cuarto, aprendizaje y validación de la política de control: tras la poda se entrena la política usando un algoritmo de aprendizaje por refuerzo, por ejemplo Proximal Policy Optimization, optimizando los pesos de las aristas del grafo y evaluando la robustez de la política sobre configuraciones de parámetros no vistas mediante métricas como coste medio por llegar y probabilidad de violación de restricciones.
Resultados experimentales y caso de estudio: tomamos como ejemplo el sistema péndulo invertido sobre un carro. Se introduce incertidumbre en la masa del carro variando m de forma uniforme en el rango 0.5 kilogramo a 1.5 kilogramo y se generan 1000 trayectorias para el análisis. Tras aplicar la función de poda guiada por PH y entrenar con PPO sobre la red podada, observamos mejoras relevantes frente a la línea base con la red inicial completa. La red podada redujo su tamaño en alrededor de 68 por ciento, el coste medio por llegar descendió y la probabilidad de violación de restricciones se redujo de forma notable, mostrando mayor robustez frente a variaciones de los parámetros.
Discusión: los resultados demuestran la eficacia de la poda guiada por PH para mejorar la robustez y la eficiencia de políticas de control. La reducción significativa del tamaño de la red, combinada con mejor rendimiento bajo incertidumbre, indica que el análisis topológico detecta los modos de movimiento centrales y elimina estados irrelevantes que introducen ruido y movimientos indeseados. Esto reduce el esfuerzo computacional y las exigencias de datos para el aprendizaje por refuerzo.
Conclusión y trabajo futuro: presentamos un marco novedoso que integra homología persistente y poda de redes para la síntesis de control robusto. La metodología abre la puerta a políticas de control más eficientes y resistentes para sistemas no lineales con incertidumbre paramétrica. Trabajos futuros abordarán incertidumbre dependiente del tiempo, explorarán arquitecturas de red alternativas y desarrollarán algoritmos de PH adaptativos que actualicen dinámicamente la estructura de la red durante la operación, permitiendo una adaptación continua ante eventos adversos.
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